Шта је консонанција?

У претходној напомени сазнали смо како функционише звук. Поновимо ову формулу:

ЗВУК = ЗВУЧНИ ТОН + СВИ ВИШЕ ОВЕРТОНА

Поред тога, док се Јапанци диве трешњином цвету, ми ћемо се дивити и дијаграму фреквенцијског одзива – амплитудно-фреквентној карактеристици звука (слика 1):

Подсетимо се да хоризонтална оса представља висину (фреквенцију осциловања), а вертикална оса представља гласноћу (амплитуду).

Свака вертикална линија је хармоник, први хармоник се обично назива основним. Хармоници су распоређени на следећи начин: други хармоник је 2 пута већи од основног тона, трећи је три, четврти је четири и тако даље.

Ради краткоће, уместо „учесталости nтх хармониц“ једноставно ћемо рећи „nтх хармониц“, а уместо „основне фреквенције“ – „фреквенција звука“.

Дакле, гледајући фреквентни одзив, неће нам бити тешко да одговоримо на питање шта је консонанција.

Како бројати до бесконачности?

Консонанција буквално значи „ко-звучање“, заједничко звучање. Како два различита звука могу звучати заједно?

Нацртајмо их на истом графикону један испод другог (слика 2):

Ево одговора: неки од хармоника могу да се поклапају у фреквенцији. Логично је претпоставити да што је више одговарајућих фреквенција, то имају више „уобичајених“ звукова, а самим тим и више консонанције у звуку таквог интервала. Да будемо потпуно прецизни, није битан само број одговарајућих хармоника, већ колики се удео свих звучних хармоника поклапа, односно однос броја поклапања и укупног броја звучних хармоника.

Добијамо најједноставнију формулу за израчунавање консонанције:

где N_совп је број одговарајућих хармоника,  N_{заједнички} је укупан број звучних хармоника (број различитих звучних фреквенција), и цонс и јесте наш жељени сагласје. Да бисмо били математички тачни, боље је назвати количину мера фреквенцијске консонанције.

Па ствар је мала: треба израчунати N_совп и N_{заједнички}, поделите један на други и добијете жељени резултат.

Једини проблем је што је и укупан број хармоника, па чак и број одговарајућих хармоника, бесконачан.

Шта се дешава ако поделимо бесконачност са бесконачношћу?

Хајде да променимо скалу претходног графикона, „одмакнемо се“ од њега (слика 3)

Видимо да се усклађени хармоници јављају изнова и изнова. Слика се понавља (слика 4).

Ово понављање ће нам помоћи.

Довољно је да израчунамо однос (1) у једном од испрекиданих правоугаоника (на пример, у првом), па ће због понављања и на целој линији овај однос остати исти.

Ради једноставности, фреквенција основног тона првог (нижег) звука ће се сматрати једнаком јединици, а фреквенција основног тона другог звука ће бити записана као несводљиви разломак  .

Напоменимо у загради да се у музичким системима, по правилу, користе управо звукови, чији се однос фреквенција изражава неким разломком  . На пример, интервал квинта је однос  , кварти –  , тритон —   итд

Израчунајмо однос (1) унутар првог правоугаоника (слика 4).

Прилично је лако избројати број одговарајућих хармоника. Формално их има два, један припада доњем звуку, други – горњем, на сл. 4 су означени црвеном бојом. Али оба ова хармоника звуче на истој фреквенцији, односно, ако рачунамо број одговарајућих фреквенција, онда ће постојати само једна таква фреквенција.

Колики је укупан број звучних фреквенција?

Хајде да се овако свађамо.

Сви хармоници нижег звука су распоређени у целим бројевима (1, 2, 3, итд.). Чим је било који хармоник горњег звука цео број, он ће се поклопити са једним од хармоника доњег. Сви хармоници горњег звука су вишеструки од основног тона , па фреквенција n-тх хармоник ће бити једнак:

то јест, биће цео број (пошто m је цео број). То значи да горњи звук у правоугаонику има хармонике од првог (основног тона) до n-ох, дакле, звук n фреквенције.

Пошто се сви хармоници нижег звука налазе у целим бројевима, а према (3), прва коинциденција се јавља на фреквенцији m, испоставља се да ће дати доњи звук унутар правоугаоника m звучне фреквенције.

Треба напоменути да се поклапајућа фреквенција m поново смо бројали два пута: када смо бројали фреквенције горњег звука и када смо бројали фреквенције доњег звука. Али у ствари, фреквенција је једна, а за тачан одговор мораћемо да одузмемо једну „додатну“ фреквенцију.

Укупан број свих звучних фреквенција унутар правоугаоника биће:

Заменом (2) и (4) у формулу (1) добијамо једноставан израз за израчунавање консонанције:

Да бисте нагласили сагласност чије смо звукове израчунали, можете навести ове звукове у заградама цонс:

Користећи тако једноставну формулу, можете израчунати консонанцију било ког интервала.

А сада размотримо нека својства фреквенцијске консонанце и примере његовог израчунавања.

Својства и примери

Прво, израчунајмо консонанције за најједноставније интервале и уверимо се да формула (6) „ради“.

Који интервал је најједноставнији?

Дефинитивно прима. Две ноте звуче унисоно. На графикону ће изгледати овако:

Видимо да се апсолутно све звучне фреквенције поклапају. Дакле, сагласност мора бити једнака:

Сада заменимо однос за унисон  у формулу (6), добијамо:

Прорачун се поклапа са „интуитивним“ одговором, што је и очекивано.

Узмимо још један пример у коме је интуитиван одговор једнако очигледан – октаву.

У октави, горњи звук је 2 пута већи од доњег (према фреквенцији основног тона), респективно, на графикону ће изгледати овако:

Из графикона се види да се сваки други хармоник поклапа, а интуитиван одговор је: консонанција је 50%.

Израчунајмо по формули (6):

И опет, израчуната вредност је једнака „интуитивној“.

Ако за доњи звук узмемо ноту до и нацртајте вредност консонанције за све интервале унутар октаве на графикону (једноставни интервали), добијамо следећу слику:

Највеће мере консонанције су у октави, квинти и кварти. Историјски су се позивали на „савршене“ сагласности. Мала и дурска терца, те молска и дурска шестина су нешто ниже, ови интервали се сматрају „несавршеним“ сазвучјима. Остали интервали имају нижи степен консонанције, традиционално припадају групи дисонанција.

Сада наводимо нека својства мере фреквенцијске консонансе, која произилазе из формуле за њено израчунавање:

1. Што је однос сложенији  (што већи број m и n), што је интервал мање сугласан.

И m и n у формули (6) су у имениоцу, дакле, како се ови бројеви повећавају, мера консонанције се смањује.

2. Сагласност интервала навише је једнака силазној консонанси интервала.

Да бисмо добили интервал доле уместо интервала навише, потребан нам је однос   свап m и n. Али у формули (6) од такве замене се апсолутно ништа неће променити.

3. Мера фреквенцијске консонансе интервала не зависи од тога од које ноте га градимо.

Ако померите обе ноте за исти интервал нагоре или надоле (на пример, направите квинту не од ноте до, али из напомене ре), затим однос  између нота се неће променити, а самим тим и мера фреквенцијске консонанције ће остати иста.

Могли бисмо дати и друга својства сазвучја, али за сада ћемо се ограничити на ове.

Физика и текстови

Слика 7 нам даје идеју о томе како функционише консонанција. Али да ли тако заиста доживљавамо сазвучје интервала? Има ли људи који не воле савршене сагласности, али најдисонантније хармоније делују пријатно?

Да, такви људи сигурно постоје. А да бисмо ово објаснили, треба разликовати два концепта: физичка консонанција и уочена консонанција.

Све што смо разматрали у овом чланку има везе са физичком хармонијом. Да бисте га израчунали, морате знати како звук функционише и како се различите вибрације сабирају. Физичка консонанција обезбеђује предуслове за перципирану консонанцију, али је не одређује 100%.

Уочена консонанција се одређује врло једноставно. Човек се пита да ли му се допада ова консонанција. Ако јесте, онда је то за њега сагласност; ако не, то је дисонанца. Ако му се дају два интервала за поређење, онда можемо рећи да ће један од њих изгледати особи у овом тренутку више сагласан, други мање.

Може ли се уочена консонанција израчунати? Чак и ако претпоставимо да је то могуће, онда ће овај прорачун бити катастрофално компликован, укључиће још једну бесконачност – бесконачност човека: његово искуство, карактеристике слуха и способности мозга. Са овом бесконачношћу није тако лако изаћи на крај.

Међутим, истраживања у овој области су у току. Конкретно, композитор Иван Сошински, који љубазно обезбеђује аудио материјале за ове белешке, развио је програм са којим можете изградити индивидуалну мапу перцепције сазвучја за сваку особу. Тренутно се развија сајт му-тхеори.инфо, где свако може да се тестира и сазна карактеристике свог слуха.

Па ипак, ако постоји уочена консонанција, а она се разликује од физичке, каква је поента у израчунавању овог другог? Ово питање можемо преформулисати на конструктивнији начин: како су ова два концепта повезана?

Студије показују да је корелација између просечне перципиране консонансе и физичке консонансе реда величине 80%. То значи да свака особа може имати своје индивидуалне карактеристике, али физика звука даје огроман допринос дефиницији сазвучја.

Наравно, научна истраживања у овој области су тек на самом почетку. А као звучну структуру, узели смо релативно једноставан модел вишеструких хармоника, а прорачун консонанције је коришћен најједноставнији – фреквенција, и није узео у обзир особености активности мозга у обради звучног сигнала. Али чињеница да је чак иу оквиру оваквих поједностављења добијен веома висок степен корелације између теорије и експеримента је веома охрабрујућа и стимулише даља истраживања.

Примена научног метода у области музичке хармоније није ограничена само на рачунање сазвучја, већ даје и занимљивије резултате.

На пример, уз помоћ научног метода, музичка хармонија се може приказати графички, визуелизовати. Следећи пут ћемо разговарати о томе како то учинити.

Аутор – Роман Олеиников